Spectral variational principle for Green's functions

Abstract

For a suitable approximation ( q, q′, τ ) to the Dirac-Feynman Green's function of a quantummechanical system, the parameter is defined, where ℒ≡ i ∂/∂τ−ℋ. It is shown that Δ ≧0 and Δ →0 as K→K , the exact Green's function, thus providing a criterion on approximate Green's functions analogous in its role to the variational principle for wavefunctions. A second somewhat weaker criterion is also proposed, based on . Recipes are given for projecting out continuum contributions to Δ or ∑ and for analyzing for the discrete eigen-value spectrum. Um zu Näherungen ( q, q′, τ) für die Dirac-Feynman-Greensche Funktion eines quantenmechanischen Systems zu gelangen, wird der Parameter definiert, wobei ℒ≡ i ∂/∂τ−ℋ für iδ/δτ — ℋ steht. Es wird gezeigt, daß Δ ≧0 und Δ →0 wenn K→K , so daß damit ein Kriterium für Näherungen der Green'schen Funktion analog dem Variationsprinzip für Wellenfunktionen gefunden ist. Als zweites, wenn auch schwächeres Kriterium gründet sich auf . Hinweise für das Herausprojizieren der Beträge des Kontinuums aus Δ bzw. ∑ und für die Analyse des diskreten Spektrums werden gegeben.